SÁCH BÀI TẬP

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là \(P_{ABCD}\) = AB + BC + CD + DA

a) Trong ∆ABC có AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆ACD có AC < CD + DA (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó AC + AC < AB + BC +  CD + DA hay 2AC < PABCD (1)

Tương tự, trong ∆ABD có BD < AD + AB

Trong ∆BCD có: BD < CD + BC

Do đó BD + BD < AD + AB + CD + BC hay 2BD < PABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) < 2\(P_{ABCD}\), do đó AC + BD < P\(P_{ABCD}\).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OCD có OC + OD > CD (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD.

Trong ∆OAD có OA + OD > AD (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC.

Vậy 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA = \(P_{ABCD}\)

=> AC+BD > \(\frac{1}{2}P_{ABCD}\)

Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra \(\widehat{A_{2}}\) = \(\widehat{C_{2}}\)

Do đó \(\widehat{A}\) = \(\widehat{C_{2}}\) = \(\frac{180^{o}-\widehat{B}}{2}\) = \(\frac{180^{o}-100^{o}}{2}\) = \(40^{o}\)

Do CD = DA, ∆DAC cân tại D, suy ra \(\widehat{A_{1}}\) = \(\widehat{C_{1}}\)

Xét ∆ADC có: \(\widehat{A_{1}}+\widehat{C_{1}}+\widehat{D}=180^{o}\)

Do đó \(\widehat{A_{1}}=\widehat{C}=\frac{180^{o}-\widehat{D}}{2}=\frac{180^{o}-100^{o}}{2}\)

Ta có: \(\widehat{A}=\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}=70^{o}\)

           \(\widehat{C}=\widehat{C_{1}}+\widehat{C_{2}}=70^{o}\)

Vậy tứ giác ABCD có  \(\widehat{A}=\widehat{C}=70^{o}\)