SÁCH BÀI TẬP
CHƯƠNG 4 – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
BÀI 11 – TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
Bài 4.1:
a) Vẽ tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính BC, sin B, cos B.
b) Vẽ tam giác MNP vuông tại M, MN = 6 cm, MP = 8 cm. Hỏi hai tam giác ABC, MNP có đồng dạng không? Tính sin N, cos N.
Bài giải chi tiết:
a)
Theo định lý Pythagore, ta có: BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25.
Suy ra BC = 
= 5 (cm).
Từ đó ta có:
sinB = 
= 
; cosB = 
= 
Vậy BC = 5 cm, sinB = 
; cosB = 
b)
Ta thấy: 
= 
= 
= 
Suy ra hai tam giác vuông MNP và ABC đồng dạng vì có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ.
Từ đó suy ra sinN = sinB = 
= 
; cosP = cosB = 
= 
Vậy hai tam giác MNP và ABC đồng dạng, sinN = 
, cosP = 
Bài 4.2:
a) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn α < 45°, ta có
sin (45°– α) = cos (45° + α), cos (45° – α) = sin (45° + α).
b) Không dùng MTCT, tính sin 25° + sin 35° + sin 45° – cos 45° – cos 55° – cos 65°.
Bài giải chi tiết:
a) Ta thấy (45° – α) + (45° + α) = 90°, suy ra đây là hai góc phụ nhau.
Do đó sin (45° – α) = cos (45° + α), cos (45°– α) = sin (45° + α).
b) sin 25° + sin 35° + sin 45° – cos 45° – cos 55° – cos 65°.
= (sin 25°– cos 65°) + (sin 35° – cos 55°) + (sin 45° – cos 45°) = 0.
Bài 4.3: Khi góc α lần lượt bằng 10°, 20°, 30°, 40°, hãy dùng MTCT tính sin α trong mỗi trường hợp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Bài giải chi tiết:
+ Để tính sin 10°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được sin 10° ≈ 0,174.
+ Để tính sin 20°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được sin 20° ≈ 0,342.
+ Để tính sin 30°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được sin 30° ≈ 0,500.
+ Để tính sin 40°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được sin 40° ≈ 0,643.
Bài 4.4: Hãy dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn α (làm tròn đến độ) trong mỗi trường hợp
a) Khi sin α lần lượt bằng 
, 
, 
, 
b) Khi cos α lần lượt bằng 
, 
, 
, 
Bài giải chi tiết:
a) Sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được sinα = 
thì α ≈ 14°.
Tương tự, ta tính được:
Sinα = 
thì α ≈ 19°.
Sinα = 
thì α =30°.
Sinα = 
thì α ≈ 42°.
b) Sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được cosα = 
thì α ≈ 76°.
Tương tự, ta tính được:
Cosα = 
thì α ≈ 71°.
Cosα = 
thì α ≈ 60°.
Cosα = 
thì α ≈ 48°.
Bài 4.5: Biết rằng với mỗi góc nhọn α, ta có sin2 α + cos2 α = 1, không dùng MTCT, hãy tính sin2 25° + sin2 35° + sin2 45° + sin2 55° + sin2 65°.
Bài giải chi tiết:
Do các góc phụ nhau có sin α = cos (90°– α) nên ta có:
sin 65° = cos 25°, sin 55° = cos 35°
Ta có:
sin2 25° + sin2 35° + sin2 45° + sin2 55° + sin2 65°.
= sin2 25° + sin2 35° + sin2 45° + cos2 35° + cos2 25°
= (sin2 25° + cos2 25°) + (sin2 35° + cos2 35°) + sin2 45°
= 1 + 1 + 0,5
= 2,5.
Vậy sin2 25° + sin2 35° + sin2 45° + sin2 55° + sin2 65° = 2,5.
Bài 4.6: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đo được 5 cm, 12 cm. Hỏi sin của góc nhọn nhỏ nhất của tam giác đó bằng bao nhiêu?
Bài giải chi tiết:
Xét tam giác vuông ABC có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Góc nhọn cần tính là góc C.
Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
BC = 
= 
= 13 (cm)
Do đó sinC = 
= 
Vậy sin của góc nhọn nhỏ nhất trong tam giác đó bằng 
Bài 4.7: Xét tam giác ABC vuông tại B, có ˆA = 30°. Tia Bt sao cho ˆCBt = 30° cắt tia AC ở D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến đường thẳng BC bằng 
Bài giải chi tiết:
ˆBCA = 90°−ˆBAC = 90° − 30° = 60°
ˆBDC = 180° − ˆBCD −ˆCBD = 180° − 60° − 30° = 90°
Do đó tam giác BDC và tam giác ABD vuông tại D.
+ Xét tam giác vuông ABD, ta có:
= sinˆBAD = sin30° = 12
Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D tới BC.
Khi đó ta có DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.
+ Xét tam giác vuông BDE, ta có:
= sinˆDBE = sin30° = 
Ta có: 
= 
⋅
=
. 
= 
suy ra DE = 
(đpcm).
Bài 4.10: Một cái diều có dây diều dài 8 m, khi dây diều căng thì diều bay ở độ cao 6 m. Hỏi khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn α xấp xỉ bằng bao nhiêu độ (H.4.7)?
Bài giải chi tiết:
Gọi vị trí của điều là B, đầu dây diều là C, hình chiếu vuông góc của diều tới phương ngang của đầu dây điều là A.
Ta thấy BC = 8 m, AB = 6 m và tam giác BAC vuông tại A.
Ta có: sinα = 
= 
= 
Dùng MTCT tính được α ≈ 49°
Vậy khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn α xấp xỉ bằng 49°.
Bài 4.15: Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α hãy chứng minh rằng:
a) tanα = 
; cotα = 
b) 1 + 
α = 
Bài giải chi tiết:
a) Xét tam giác ABC vuông tại A với góc B là góc α, ta có:
sinB = 
; cosB = 
Khi đó: 
= 
: 
= 
. 
= 
= tanB
= 
: 
= 
. 
= 
= cotB
b) 
B + 
B = 
= 
= 1 (định vì AB2 + AC2 = BC2).
Suy ra sin2 α + cos2 α = 1.
Do đó 1 + 
α = 1 + 
= 
= 
(dpcm).
Bài 4.16: Cho góc α có tan α = 
. Tính sin α, cos α.
Bài giải chi tiết:
Ta có:
= 1 + 
α = 1 + 
= 
Suy ra 
= 
hay cosα = 
Vì tanα = 
suy ra 
= tanα. cosα = 
. 
= 
Vậy cosα = 
, sinα = 
Bài 4.17: Với α < β < 90°, chứng minh rằng:
a) cos α > cos β (HD. Sử dụng Ví dụ 5 và bài 4.15);
b) sin α < sin β (HD. Sử dụng công thức sin2 α + cos2 α = 1).
Bài giải chi tiết:
Theo Ví dụ 5, khi số đo góc nhọn α tăng lên thì tan α tăng nên, suy ra với α < β < 90° thì tan α > tan β.
a) Ta có: tanα < tanβ
α < 
β
1 + 
α < 1 + 
β
< 
> 
cos α > cos β (đpcm).
b) Theo câu a ta có: cos α > cos β
> 
1 − 
< 1 - 
< 
sin α < sin β (đpcm).